För att räkna ut klämkraften i ett förband krävs kännedom om skruvens och
godsets styvheter. Eftersom ett skruvförband kan betraktas som ett system av
sammankopplade fjädrar kan styvheterna beräknas som fjäderkonstanter, Figur
1.
Lutningen på de räta linjerna i
kraft-deformationsdiagrammet i Figur 2 beskriver de ingående komponenternas
styvheter. Genom att uttrycka kraften på komponenterna enligt ekvation 1:
samt skriva om spänningen med
Hooke’s lag enligt:
där töjningen kan ses som en
relativ längdförändring:
kan nu uttrycket för styvhet ges
av kombinationen av ekvationerna 1 – 3:
Skruvens och de klämda
komponenternas styvheter beräknas på olika sätt, vilket kommer att behandlas i
de efterföljande två avsnitten.
2. Skruv
När en skruv monteras, eller är
satt under extern dragbelastning, förlängs den på grund av elastisk och plastisk
deformation. När det gäller bestämning av skruvens fjäderkonstant är det viktigt
att känna till skruvens geometrier, där varje sektion på skruven påverkas
individuellt av belastningen, Figur 3
Figur 3. Skruv med påkända zoner.
Skruvstammens förlängning ges
av:
där:
Skruvstammens fjäderkonstant ges
då av:
Ifall skruvstammen är reducerad,
till exempel vevstaksskruvar, måste Ad reduceras på grund av
den mindre diametern. Den relativa axialrörelsen, som leder till elastisk och
plastisk deformation av de skruvgängor som är i ingrepp mot mutterns invändiga
gängor, resulterar också i skruvförlängning. Den del av gängorna som är i
ingrepp ger följande förlängning:
där:
Notera att
tvärsnittsarean Ad3 är baserad på skruvens kärndiameter,
d3.
Motsvarande fjäderkonstant ges då av:
Även kärnan i den del av skruven som är i gängingrepp kommer att påverkas av
den relativa axialrörelsen. Kärnans förlängning ges av:
där:
Fjäderkonstanten ges av:
Dessutom kommer skruvhuvudet att påverkas av belastningen. Här antas
skruvhuvudet vara utan fläns. Förlängningen ges av:
där:
(för skruv med utvändigt sexkantsgrepp)
(för skruv med invändigt sexkantsgrepp)
LK (index med versal) ska här inte blandas ihop med
Lk (index med gemen) där den senare längden är beteckningen
för skruvförbandets klämlängd, se Figur 3.
Skruvhuvudets fjäderkonstant ges
av:
Den del av skruvens gängade del
som är inom klämlängden kommer att förlängas enligt följande samband:
Motsvarande fjäderkonstant:
Slutligen, den totala
skruvförlängningen ges av:
Eftersom en skruv och dess olika
sektioner uppträder som seriekopplade fjädrar ges den resulterande
fjäderkonstanten av:
3.
Klämda delar
Det finns flera olika sätt att
beräkna godsets eller de klämda delarnas fjäderkonstant, kc.
Den mest vedertagna metoden bygger på ett cylindriskt utformat skruvförband, där
de invändiga gängorna motsvarar en mutter eller ett gängat bottenhål. En viktig
parameter vid bestämning av godsets fjäderkonstant är begränsningsdiametern,
DA, på förbandets påkända area. Om skruvens yttre
kontaktdiameter mot underlaget, dw, är mindre än
DA bildas tryckspänningar som minskar radiellt ut från
skruvaxeln och ut mot de klämda delarnas periferi. Eftersom de klämda delarnas
belastningsområde inte upptar hela förbandet har en ersättningsarea,
Aers, med tillhörande ersättningsdiameter,
Ders, definierats i syfte att uppskatta den påkända arean.
Totalt finns det tre olika geometriska fall att beakta, se Figur 4 samt
uträkningarna a) till c).
Figur 4. Tre
olika geometriska fall för godsstyvhetsberäkning.
Det finns tre olika geometriska fall, se Figur 4, att
ta ställning till:
Fall a):
Fall
b):
där:
(gäller för
muttrar och gängade genomgående hål)
(gäller för
bottenhål)
Fall
c):
där:
(gäller för
muttrar och gängade genomgående hål)
(gäller för
bottenhål)
Den allmänna ekvationen för
godsets fjäderkonstant är:
där Ec är
godsets elasticitetsmodul och L är godsets tjocklek.
Ifall skruvförbandet består av
två eller flera skikt av klämda delar av olika material eller olika tjocklek
kommer den resulterande fjäderkonstanten att ges av:
Det finns andra alternativa
beräkningsmetoder för att bestämma godsets fjäderkonstant. Här har vi valt att
presentera en av de mest vedertagna metoderna. Har man tillgång till och
möjlighet att beräkna godsstyvhet med hjälp av finita elementmetoden bör man
göra det eftersom det ger den mest noggranna uppskattningen.
4 Beräkningsexempel med
fall b ovan
Fjäderkonstanten för två M10
förband kommer nu att beräknas. Ett med klämlängd 10 mm och ett med klämlängd 30
mm.
Vi kommer därefter räkna ut klämkraftförluster och då se vikten av en
tillräcklig klämlängd för klämkraftkritiska förband.
Följande dimensioner
gäller för båda klämlängderna:
dw = 14 mm
DA = 25 mm
dh = 11 mm
Underlagets
styvhet
Vi börjar med underlagets styvhet och givna dimensioner
ger att vi räknar enligt fall b.
Först beräknas den så kallade
ersättningstvärsnittsarean ut. Enligt ekvation 24 blir den:
260 mm2 för
Lk 10mm och 310 mm2 för Lk
30mm
Styvheterna blir då: 5.37 kN/µm för Lk 10 mm och
3.13 kN/µm för Lk 30 mm
Fästelementets
styvhet
Fästelementets styvhet beror inte bara av stammens
styvhet inom klämlängden utan också till del stammens styvhet ner i
gängingreppet och upp i skruv huvudet. Vidare kommer skruvhuvudet samt
mutterkroppen att också deformeras elastiskt och därmed bidra till den totala
styvheten. Figur 3 ger en schematisk bild av hur förbandets styvhet består av
styvheten hos alla ingående dela i en så kallad styvhets
loop.
Styvhetsbidraget från huvud, mutter gängövergång samt skruvstammens
förlängning ner i gängövergången ges av ekvationerna 9, 13 och 16. Som synes
tillkommer här empiriskt funna koefficienter.
Fästelementets totala
styvhet blir enligt ekvation 22:
0.511 kN/µm för Lk 10 mm
och 0.262 kN/µm för Lk 30 mm
Hela förbandets
styvhet
Förbandsloopens totala styvhet blir då:
0.466 kN/µm
för Lk 10 mm och 0.262 kN/µm för Lk 30
m
Sättningsförlust
Med ursprunglig klämkraft om 25
kN (målvärde för momentmonterat 8.8 förband) och en sättning om ca 50 µm blir
sättningsförlusten:
23.3 kN för Lk 10 mm förbandet
och
13.4 kN för Lk 30 mm förbandet
D v s den
kvarvarande klämkraften blir:
1.7 kN för Lk 10 mm
förbandet och
13.4 kN för Lk 30 mm förbandet.
Slutsats
Dynamiskt höghållfasta förband
ska konstrueras med en relativt lång klämlängd helst över 2d men definitivt över
1d.
Med flänsskruv och flänsmutter blir situation något bättre men för
sexkantskruv och sexkantmutter utan fläns har klämlängden stor betydelse om
sättning förekommer.